Integer Representation

Two’s complement representation

Conversion

• For positive numbers (+)
  • complement ← original (补码=原码）
  • original ← complement (原码=补码）
• For negative numbers (-)
  • complement = reversed(abs(original)) + 1 (补码=正数的反码+1）
  • original ← -reverse(complement-1) (原码= 补码-1，反转，再加负号）
• All binary (addition/subtraction) calculations are done directly with complements (in a computer)

Purpose

1. 统一加减法：减法可以转换为加法来处理。
2. 简化溢出处理：正负数的溢出方式相同，简化了溢出的检测和处理逻辑。
3. 避免两个零：假若不用补码，则$0000_2$, $1000_2$ 都代表0.
4. 简化电路：通过将正负数都转换为补码，计算机可以使用原本为无符号数设计的电路来处理有符号数。这降低了硬件设计的复杂性。

<aside> 💡 因此：电脑并不会区分符号；同一个二进制可以表示不同的数据，由人定义

• E.g., 8位的无符号整数0xFF，在补码表示中也可看作是有符号整数1。
• 但这种兼容性靠程序员的明确处理，因为计算机不会自动区分这两种情况。 </aside>

ALU Overflow Detection

• if two numbers are added,
• and they are both positive or both negative,
• then overflow occurs if and only if the result has the opposite signs

Addition & Subtraction

• For addition: convert any negative numbers to two’s complement and bitwise addition
• For subtraction: convert to addition (e.g., $a-b\to a+(-b)$)

Multiplication